题目内容

已知边长为2的正三角形ABC的重心为G，其中M，N分别在AB，AC边上，且
AM
=2
MB
，2
AN
=
NC
，则|
GM
|=
 
|
GN
|．
考点：平面向量的基本定理及其意义
专题：平面向量及应用
分析：如图所示，设D是边BC的中点，由边长为2的正三角形ABC的重心为G，可得
AG
=2
GD
，又
AM
=2
MB
，可得
MG
=
2
3
BD
=
1
3
BC
.|
MG
|=
1
3
|
BC
|=
2
3
．同理可得
GN
=
1
3
BA
，即可得出．
解答： 解：如图所示，
设D是边BC的中点，
∵边长为2的正三角形ABC的重心为G，
∴
AG
=2
GD
，
∵
AM
=2
MB
，
∴
MG
=
2
3
BD
=
1
3
BC
．
∴|
MG
|=
1
3
|
BC
|=
2
3
．
同理可得
GN
=
1
3
BA
，|
GN
|=
2
3
．
∴|
GM
|=|
GN
|，
故答案为：1．
点评：本题考查了向量的共线定理、等边三角形的性质、三角形的重心性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知f（x）=3x-3-x-2x，则满足（x-2）f（log 
1
2
x）＜0的x的取值范围是
 
．
f（x）=cosxcos（x-θ）-
1
2
cosθ，0＜θ＜π，f（
π
3
）的值最大，则2f（
3x
2
）在x∈[0，
π
3
]上的最小值是
 
．
正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD交于点O，则异面直线OC1与AD1所成角的大小为
 
．
已知二次函数f（x）=x2+bx+c（b，c∈R）．
（1）若f（-1）=f（2），且不等式x≤f（x）≤2|x-1|+1对x∈[0，2]恒成立，求函数f（x）的解析式；
（2）若c＜0，且函数f（x）在[-1，1]上有两个零点，求2b+c的取值范围．
已知函数f（x）=2sin（2x+
π
3
），x∈[0，π]
（1）求函数f（x）的最小值及取最小值时相应的x的值；
（2）求函数f（x）的单调增区间．
已知f（x）=
3
sinxcosx+3sin2x-
3
2

（1）求f（x）的最小正周期及f（
π
12
）；
（2）求y=f（x）的单调增区间；
（3）当x∈[
π
3
，
5π
6
]时，求y=f（x）的值域．
已知四面体OABC各棱长为1，D是棱OA的中点，则异面直线BD与AC所成角的余弦值（　　）
A、
3
3
B、
1
4
C、
3
6
D、
2
8
已知
e1
，
e2
是两个不共线的向量，向量
PA
=
e1
+sina•
e2
（-
π
2
＜a＜
π
2
），
PB
=2
e1
-
e2
，
PC
=3
e1
-
5
2
e2
，若A，B，C三点共线，且函数f（x-a）=4cos（x-a）cos（x-2a），则f（x）在[-
π
4
，
π
6
]上的值域为（　　）
A、[-2，
3
+2]
B、[1-
3
，2]
C、[-2
3
，
3
+2]
D、[
3
-1，
3
+2]

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