Question

已知函数f（x）=

3

2

sin2x-cos²x-

1

2

，
（1）求函数f（x）在[0，

π

2

]的最大值和最小值，并给出取得最值时的x值；
（2）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且c=

3

，f（C）=0，若sinB=2sinA，求a，b的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）首先对函数关系式进行恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．
（2）根据（1）的函数关系式，进一步利用正弦和余弦定理求出三角形的边长．

解答： 解：（1）f（x）=

3

2

sin2x-cos²x-

1

2

=

3

2

sin2x-

cos2x+1

2

-

1

2

=sin(2x-

π

6

)-1
由于：x∈[0，

π

2

]
所以：-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

则：-

1

2

≤sin(2x-

π

6

)≤1
则：-

3

2

≤f(x)≤0
即当x=

π

3

时，函数取最大值，
当x=0时，函数取最小值．
（2）由于f（x）=sin(2x-

π

6

)-1
则：f（C）=0
解得：sin(2C-

π

6

)-1=0
0＜C＜π
所以：C=

π

3

又：sinB=2sinA
则：b=2a
利用余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC
由于c=

3

所以解得：a=1
进一步求得：b=2

点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，利用三角函数的定义域求出函数的值域，余弦和正弦定理的应用，属于基础题型．