Question

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

1

2

，直线l：x-my-1=0（m∈R）过椭圆C的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知点D（

5

2

，0），连结BD，过点A作垂直于y轴的直线l₁，设直线l₁与直线BD交于点P，试探索当m变化时，是否存在一条定直线l₂，使得点P恒在直线l₂上？若存在，请求出直线l₂的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题设，得

c=1 c a = 1 2

，及b²=a²-c²=3，即可得出．
（2）令m=0，则A(1，  

3

2

)，B(1，  -

3

2

)或者A(1，  -

3

2

)，B(1，  

3

2

)．可得P(4，  

3

2

)或P(4，  -

3

2

)，可知：满足题意的定直线l₂只能是x=4．
只要证明点P恒在直线x=4上．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由于PA垂直于y轴，可得点P的纵坐标为y₁，从而只要证明P（4，y₁）在直线BD上． 利用根与系数的关系、斜率计算公式只要证明 k_DB=k_DP．

解答： 解：（1）由题设，得

c=1 c a = 1 2

，解得

c=1 a=2

从而b²=a²-c²=3，
∴椭圆C的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1． 
（2）令m=0，则A(1，  

3

2

)，B(1，  -

3

2

)或者A(1，  -

3

2

)，B(1，  

3

2

)．
当A(1，  

3

2

)，B(1，  -

3

2

)时，P(4，  

3

2

)；当A(1，  -

3

2

)，B(1，  

3

2

)时，P(4，  -

3

2

)，
∴满足题意的定直线l₂只能是x=4．
下面证明点P恒在直线x=4上．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由于PA垂直于y轴，∴点P的纵坐标为y₁，从而只要证明P（4，y₁）在直线BD上． 
由

x-my-1=0 ，    x2 4 + y2 3 =1 ，

得（4+3m²）y²+6my-9=0，
∵△=144（1+m²）＞0，
∴y1+y2=

-6m

4+3m2

，y1y2=

-9

4+3m2

．①
∵kDB-kDP=

y2-0

x2- 5 2

-

y1-0

4- 5 2

=

y2

my2+1- 5 2

-

y1

3 2

=

3 2 y2-y1(my2- 3 2 )

3 2 (my2- 3 2 )

=

y1+y2- 2 3 my1y2

my2- 3 2

，
①式代入上式，得k_DB-k_DP=0，
∴k_DB=k_DP． 
∴点P（4，y₁）恒在直线BD上，从而直线l₁、直线BD与直线l₂：x=4三线恒过同一点P，
∴存在一条定直线l₂：x=4使得点P恒在直线l₂上．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、直线过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．