Question

已知抛物线C₁：y²=4x，双曲线C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），若C₁的焦点恰为C₂的右焦点，则2a+b的最大值为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：三角函数的图像与性质,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出抛物线的焦点，可得双曲线的c=1，a²+b²=1，令a=cosα，b=sinα（0＜α＜

π

2

），运用两角和的正弦公式，结合正弦函数的值域即可得到最大值．

解答： 解：抛物线C₁：y²=4x的焦点为（1，0），
即有双曲线的右焦点为（1，0），
即c=1，a²+b²=1，
令a=cosα，b=sinα（0＜α＜

π

2

），
则2a+b=2cosα+sinα=

5

（

2

5

cosα+

1

5

sinα）
=

5

sin（α+θ）（θ在第一象限，且tanθ=2），
当α+θ=

π

2

时，sin（α+θ）取得最大值1，
即有2a+b取得最大值

5

．
故答案为：

5

．

点评：本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，同时考查三角换元和正弦函数的图象和性质，运用两角和的正弦公式是解题的关键．