题目内容
已知函数f（x）=2
sinxcosx-3sin2x-cos2x+2．
（1）当x∈[0，
]时，求f（x）的值域；
（2）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足
=
，
=2+2cos（A+C），求f（B）的值．
| 3 |
（1）当x∈[0，
| π |
| 2 |
（2）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足
| b |
| a |
| 3 |
| sin(2A+C) |
| sinA |
考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理,余弦定理
专题：三角函数的图像与性质,解三角形
分析：（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+
）．由x∈[0，
]，可得sin（2x+
）∈[-
，1]，从而解得f（x）的值域；
（2）由题意根据三角函数中的恒等变换应用可得sinC=2sinA，由正弦定理可得c=2a，又b=
a，由余弦定理可解得A的值，从而求得B，C的值，即可求得f（B）的值．
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
（2）由题意根据三角函数中的恒等变换应用可得sinC=2sinA，由正弦定理可得c=2a，又b=
| 3 |
解答：
解：（1）∵f（x）=2
sinxcosx-3sin2x-cos2x+2
=
sin2x-2sin2x+1
=
sin2x+cos2x
=2sin（2x+
）…4分
∵x∈[0，
]，
∴2x+
∈[
，
]，sin（2x+
）∈[-
，1]，
∴f（x）∈[-1，2]…6分
（2）∵由题意可得sin[A+（A+C）]=2sinA+2sinAcos（A+C）
有，sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C）
化简可得：sinC=2sinA，…9分
∴由正弦定理可得：c=2a，
∵b=
a，
∴由余弦定理可得：cosA=
=
=
∴可解得：A=30°，B=60°，C=90°…11分
所以可得：f（B）=1…12分
| 3 |
=
| 3 |
=
| 3 |
=2sin（2x+
| π |
| 6 |
∵x∈[0，
| π |
| 2 |
∴2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 7π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
∴f（x）∈[-1，2]…6分
（2）∵由题意可得sin[A+（A+C）]=2sinA+2sinAcos（A+C）
有，sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C）
化简可得：sinC=2sinA，…9分
∴由正弦定理可得：c=2a，
∵b=
| 3 |
∴由余弦定理可得：cosA=
| b2+c2-a2 |
| 2bc |
| 3a2+4a2-a2 | ||
4
|
| ||
| 2 |
∴可解得：A=30°，B=60°，C=90°…11分
所以可得：f（B）=1…12分
点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基本知识的考查．
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