Question

设a₀+

1

2

a₁+

1

3

a₂+…+

1

n+1

a_n=0，其中a_i（i=0，1，…n）是不全为零的常数，试证明：多项式f（x）=a₀+a₁x+…+a_nxⁿ在（0，1）内至少有一个零点．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：令g（x）=∫f（x）dx=∫（a₀+a₁x+…+a_nxⁿ）dx=a₀x+

a1

2

x²+

a2

3

x³+…+

an

n+1

xⁿ⁺¹，显然g（0）=0，g（1）=a₀+

1

2

a₁+

1

3

a₂+…+

1

n+1

a_n=0，从而解决问题．

解答： 证明：已知a₀+

1

2

a₁+

1

3

a₂+…+

1

n+1

a_n=0，f（x）=a₀+a₁x+…+a_nxⁿ，
令g（x）=∫f（x）dx=∫（a₀+a₁x+…+a_nxⁿ）dx=a₀x+

a1

2

x²+

a2

3

x³+…+

an

n+1

xⁿ⁺¹，
显然g（0）=0，g（1）=a₀+

1

2

a₁+

1

3

a₂+…+

1

n+1

a_n=0，
而g（x）在（0，1）内连续，且不恒等于0，∴g（x）在（0，1）至少存在一个极值，
故g′（x）=f（x）=a₀+a₁x+…+a_nxⁿ=0在（0，1）内至少有1个实数根，
∴f（x）=a₀+a₁x+…+a_nxⁿ在（0，1）内至少有一个零点．

点评：本题考查了函数的零点的判定定理，考查了不定积分的应用，是一道中档题．