Question

函数y=3-sinx-2cos²x的值域为

 

．

Answer 1

考点：复合三角函数的单调性

专题：三角函数的求值

分析：由三角函数知识化简可得y=2（sinx-

1

4

）²+

7

8

，令sinx=t，则t∈[-1，1]，研究二次函数y=2（t-

1

4

）²+

7

8

的单调性和值域即可．

解答： 解：化简可得y=3-sinx-2cos²x
=3-sinx-2（1-sin²x）
=2sin²x-sinx+1
=2（sinx-

1

4

）²+

7

8

，
令sinx=t，则t∈[-1，1]，
由二次函数可知y=2（t-

1

4

）²+

7

8

在t∈[-1，

1

4

]单调递减，在t∈[

1

4

，1]单调递增，
∴当t=

1

4

时，上取到最小值

7

8

，
当t=-1时，上取到最大值4
故答案为：[

7

8

，4]

点评：本题考查复合三角函数的单调性和最值，换元是解决问题的关键，属基础题．