Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=3，若数列{S_n+1}是公比为4的等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=lg

an

96

，n∈N^*，求数列{b_n}的前n项和T_n的最小值．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由于a₁=3，数列{S_n+1}是公比为4的等比数列．可得S_n+1=4×4^n-1，再利用当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1即可得出．
（2）利用对数的运算性质可得b_n=lg

an

96

=2n-7，由b_n≤0，解得n即可得出．

解答： 解：（1）∵a₁=3，数列{S_n+1}是公比为4的等比数列．
∴S_n+1=4×4^n-1，
∴Sn=4n-1．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4ⁿ-1-（4^n-1-1）=3×4^n-1．
当n=1时，上式也成立．
∴a_n=3•4^n-1．
（2）b_n=lg

an

96

=lg

3×4n-1

96

=2n-7，
由b_n≤0，解得n≤

7

2

，
∴当n=3时，数列{b_n}的前n项和T_n取得最小值T₃=

3(-5+6-7)

2

=-9．

点评：本题考查了等比数列的通项公式、数列通项公式与前n项和的关系、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．