Question

已知函数f（x）=lnx-mx（m∈R）．
（1）若曲线y=f（x）过点P（1，-1），求曲线y=f（x）在点P的切线方程；
（2）若f（x）≤0恒成立求m的取值范围；
（3）求函数f（x）在区间[1，e]上最大值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,压轴题,导数的综合应用

分析：（1）由f（x）过点P（1，-1）可得-1=ln1-m，从而解出m=1，进而求曲线y=f（x）在点P的切线方程；
（2）原式可化为lnx-mx≤0恒成立，结合x＞0可化为m≥

lnx

x

恒成立，从而化为求g(x)=

lnx

x

的最大值，利用导数求最值；
（3）由f′(x)=

1

x

-m=

1-mx

x

讨论，m的取值，以确定函数函数f（x）在区间[1，e]上的单调性，从而求函数在区间[1，e]上的最大值．

解答： 解：（1）∵f（x）过点P（1，-1），
∴-1=ln1-m，∴m=1，
∴f（x）=lnx-x，
f′(x)=

1

x

-1，
f'（1）=0，
∴过点P（1，-1）的切线方程为y=-1．
（2）∵f（x）≤0恒成立，
即lnx-mx≤0恒成立，
∴mx≥lnx，
又∵f（x）定义域为（0，+∞），
∴m≥

lnx

x

恒成立；
设g(x)=

lnx

x

，
∵g′(x)=

1-lnx

x2

，
∴当x=e时，g'（e）=0
当0＜x＜e时，g'（x）＞0，g（x）为单调增函数，
当x＞e时，g'（x）＜0，g（x）为单调减函数，
∴g(x)max=g(e)=

1

e

，
∴当m≥

1

e

时，f（x）≤0恒成立．
（3）∵f′(x)=

1

x

-m=

1-mx

x

，
①当m≤0时，f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）为单增函数，
∵在x∈[1，e]上，f（x）_max=f（e）=1-me；
②当

1

e

≤m≤1，即1≤

1

m

≤e时，
当x∈(0，

1

m

)时，f'（x）＞0，f（x）为单增函数，
当x∈(

1

m

，+∞)时，f'（x）＜0，f（x）为单减函数，
∴x∈[1，e]上，f(x)max=f(

1

m

)=-lnm-1；
③当m＞1时，即0＜

1

m

＜1，f(x)在(

1

m

，+∞)为单减函数，
∴x∈[1，e]上，f（x）_max=f（1）=-m；
④当0＜m＜

1

e

，即

1

m

＞e时，
f（x）在(0，

1

m

)为单增函数，
∴x∈[1，e]时，f（x）_max=f（e）=1-me；
综上所述，
当m＜

1

e

时，f（x）_max=f（e）=1-me，
当

1

e

≤m≤1时，f(x)max=f(

1

m

)=-lnm-1
当m＞1时，f（x）_max=f（1）=-m．

点评：本题考查了导数的综合应用，恒成立问题一般要转化为函数的最值问题，本题求闭区间上的最值问题时用到了分类讨论的数学思想，是本题的难点，要注意选择恰当的标准分类，属于难题．