题目内容

已知双曲线C的方程为
y2
a2
-
x2
b2
=1（a＞0，b＞0），离心率e=
5
2
，顶点到渐近线的距离为
2
5
5
．
（1）求双曲线C的方程
（2）求双曲线C的焦点坐标和渐近线方程．
考点：双曲线的简单性质,双曲线的标准方程
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）依题意可得到e2=
a2+b2
a2
=
5
4
，顶点到渐近线的距离d=
ab
c
=
2
5
5
，解方程组即可求得双曲线C的方程；
（2）根据双曲线C的方程，即可求焦点坐标和渐近线方程．
解答： 解：（1）∵双曲线C的方程为
y2
a2
-
x2
b2
=1（a＞0，b＞0），离心率e=
5
2
，
∴e2=
a2+b2
a2
=
5
4
，
∴a2=4b2；①
设顶点P（0，a）到渐近线ax-by=0的距离为d
则d=
ab
c
=
2
5
5
，
∴
a2b2
a2+b2
=
4
5
，②
由①②联立得：a2=4，b2=1．
∴双曲线C的方程为：
y2
4
-x2=1；
（2）
y2
4
-x2=1中a=2，b=1，∴c=
a2+b2
=
5
，
∴双曲线C的焦点坐标为（0，±
5
），渐近线方程为y=±2x．
点评：本题考查双曲线的简单性质与标准方程，考查方程思想与运算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
有下述命题
①若f（a）•f（b）＜0，则函数f（x）在（a，b）内必有零点；
②当a＞1时，总存在x0∈R，当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax；
③函数y=1（x∈R）是幂函数；
④若A?B，则Card（A）＜Card（B）其中真命题的个数是（　　）
A、0B、1C、2D、3
在直线l：x-y+9=0上任取一点M，过M作以F1（-3，0），F2（3，0）为焦点的椭圆，当M在什么位置时，所作椭圆长轴最短？并求此椭圆方程．
已知
m
=（bsinx，acosx），
n
=（cosx，-cosx），f（x）=
m
•
n
+a，其中a，b，x∈R．且满足f（
π
6
）=2，f′（0）=2
3
．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）-log 
1
3
k=0在区间[0，
2π
3
]上总有实数解，求实数k的取值范围．
如图，椭圆的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，过F2与x轴垂直的直线与椭圆交于S，T，与抛物线交于C，D两点，且|CD|=2
2
|ST|．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设P为椭圆上一点，若过点M（2，0）的直线l与椭圆相交于不同两点A和B，且满足
OA
+
OB
=t
OP
（O为坐标原点），求实数t的取值范围．
已知双曲线C1：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的与双曲线C2：3x2-y2=1有公共渐近线，且过点A（1，0）．
（1）求双曲线C1的标准方程；
（2）设F1、F2分别是双曲线C1左、右焦点．若P是该双曲线左支上的一点，且∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积S．
已知定点F1（-1，0），F2（1，0），动点P（x，y），且满足|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列．
（Ⅰ） 求点P的轨迹C1的方程；
（Ⅱ） 若曲线C2的方程为（x-t）2+y2=（t2+2t）2（0＜t≤
2
2
），过点A（-2，0）的直线l与曲线C2相切，求直线l被曲线C1截得的线段长的最小值．
4x+3y＜12
x-y＞-1
y≥0
表示的平面区域内整点的个数是
 
．
给出如下命题：
①若“p且q”为假命题，则p，q均为假命题；
②命题“若a＞b，则2a＞2b-1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b-1”；
③命题“?x0∈R，2x0≤0”的否定是“?x∈R，2x＞0”；
④“a≥5”是“?x∈[1，2]，x2-a≤0恒成立”的充要条件．
其中所有正确的命题的序号是
 
．

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