Question

已知定点F₁（-1，0），F₂（1，0），动点P（x，y），且满足|PF₁|，|F₁F₂|，|PF₂|成等差数列．
（Ⅰ） 求点P的轨迹C₁的方程；
（Ⅱ） 若曲线C₂的方程为（x-t）²+y²=（t²+2t）²（0＜t≤

2

2

），过点A（-2，0）的直线l与曲线C₂相切，求直线l被曲线C₁截得的线段长的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）由题意，可得出），|PF₁|+|PF₂|=4＞|F₁F₂|，根据椭圆的定义可知，点P的轨迹是椭圆，由此即可求出轨迹方程；
（II）由题意，可设出直线l的方程，由于其与圆C₂相切，由相切关系可得出斜率k所满足的方程，再将直线方程与（I）中所求的轨迹方程联立，由弦长公式求出直线截曲线C₁截得的线段的长的表达式，再根据所得表达式求其最值即可．

解答： 解：（Ⅰ）由F₁=（-1，0），F₂=（1，0），|PF₁|+|PF₂|=4＞|F₁F₂|…（1分）
根据椭圆定义知P的轨迹为以F₁，F₂为焦点的椭圆，
其长轴2a=4，焦距2c=2，短半轴b=

a2-c2

=

3

，故C₁的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．…（4分）
（Ⅱ）设l：y=k（x+2），由过点A（-2，0）的直线l与曲线C₂相切得

|k(t+2)|

k2+1

=t(t+2)，
化简得t=

|k|

k2+1

，t∈（0，

2

2

]（注：本处也可由几何意义求k与t的关系）…（6分）
由0＜t=

|k|

k2+1

＜

2

2

，解得0≤k²≤1…（7分）
联立

y=k(x+2) x2 4 + y2 3 =1

，消去y整理得（4k²+3）x²+16k²x+16k²-12=0，…（8分）
直线l被曲线C₁截得的线段一端点为A（-2，0），
设另一端点为B，解方程可得B（

-2(4k2-3)

4k2+3

，

12k

4k2+3

），
所以|AB|=

( -2(4k2-3) 4k2+3 +2)2+( 12k 4k2+3 )2

=

12 k2+1

4k2+3

…（11分）
（注：本处也可由弦长公式结合韦达定理求得）
令

k2+1

=n，则|AB|=

12n

4n2-1

=

12

4n- 1 n

，n∈(1，

2

]，
考查函数y=4n-

1

n

的性质知y=4n-

1

n

在区间（1，

2

]上是增函数，
所以n=

2

时，y=4n-

1

n

取最大值

7 2

2

，从而|AB|_min=

12

7 2 2

=

12 2

7

．…（14分）

点评：本题考查定义法求轨迹方程，直线与圆相切的位置关系，弦长公式的应用，利用基本不等式求最值的方法，综合性强，运算量大，此类题的解答要注意方程思想的运用，转化与化归思想的运用