Question

已知

m

=（bsinx，acosx），

n

=（cosx，-cosx），f（x）=

m

•

n

+a，其中a，b，x∈R．且满足f（

π

6

）=2，f′（0）=2

3

．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）-log 

1

3

k=0在区间[0，

2π

3

]上总有实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：平面向量及应用

分析：（I）利用数量积运算和导数的运算法则即可得出；
（II）利用两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性有界性、对数的运算法则即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）由题意知，f(x)=

m

•

n

+a=bsinxcosx-acos2x+a=

a

2

(1-cos2x)+

b

2

sin2x，
由f(

π

6

)=2得a+

3

b=8，
∵f′（x）=asin2x+bcos2x，又f′(0)=2

3

，∴b=2

3

，∴a=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=1-cos2x+

3

sin2x=2sin(2x-

π

6

)+1，
∵x∈[0，

2π

3

]，-

π

6

≤2x-

π

6

≤

7π

6

，
∴-1≤2sin(2x-

π

6

)≤2，f（x）∈[0，3]．
又∵f(x)-log

1

3

k=0有解，即f（x）=-log₃k有解，
∴-3≤log₃k≤0，解得

1

27

≤k≤1，
∴实数k的取值范围为[

1

27

，1]．

点评：本题考查了数量积运算和导数的运算法则、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性有界性、对数的运算法则等基础知识与基本技能方法，属于中档题．