Question

如图，椭圆的右焦点F₂与抛物线y²=4x的焦点重合，过F₂与x轴垂直的直线与椭圆交于S，T，与抛物线交于C，D两点，且|CD|=2

2

|ST|．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设P为椭圆上一点，若过点M（2，0）的直线l与椭圆相交于不同两点A和B，且满足

OA

+

OB

=t

OP

（O为坐标原点），求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：椭圆的应用,椭圆的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由焦点F₂（1，0），根据|CD|=2

2

|ST|，所以|ST|=

2

，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设过m（2，0）的直线为y=k（x-2），与椭圆方程联立，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），由

OA

+

OB

=t

OP

，得

x1+x2=tx0 y1+y2=ty0

，由此结合题设条件能求出实数t的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）设椭圆标准方程

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由题意，抛物线y²=4x的焦点为F₂（1，0），|CD|=4．
因为|CD|=2

2

|ST|，所以|ST|=

2

．…（2分）
又S(1，

b2

a

)，T(1，-

b2

a

)，|ST|=

2b2

a

=

2

，
又c²=1=a²-b²，所以a=

2

，b=1．
所以椭圆的标准方程

x2

2

+y2=1．…（5分）
（Ⅱ）由题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x-2）．
由

x2+2y2=2 y=k(x-2)

消去y，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，（*）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），则x₁，x₂是方程（*）的两根，
所以△=（8k²）²-4（1+2k²）（8k²-2）＞0，即2k²＜1，①…（7分）
且x1+x2=

8k2

1+2k2

，
由

OA

+

OB

=t

OP

，得

x1+x2=tx0 y1+y2=ty0

若t=0，则P点与原点重合，与题意不符，故t≠0，
所以，

x0= 1 t (x1+x2)= 1 t • 8k2 1+2k2 y0= 1 t (y1+y2)= 1 t ×[k(x1+x2)-4k]= 1 t • -4k 1+2k2

…（9分）
因为点P（x₀，y₀）在椭圆上，所以2=

x

2 0

+2

y

2 0

=

1

t2

[(

8k2

1+2k2

)2+

32k2

(1+2k2)2

]，
即

1

8

t2=

4k4+2k2

(1+2k2)2

=1-

1

1+2k2

，
再由①，得0≤

1

8

t2＜

1

2

，
又t≠0，所以t∈（-2，0）∪（0，2）．…（13分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．