Question

已知双曲线C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的与双曲线C2：3x2-y2=1有公共渐近线，且过点A（1，0）．
（1）求双曲线C₁的标准方程；
（2）设F₁、F₂分别是双曲线C₁左、右焦点．若P是该双曲线左支上的一点，且∠F₁PF₂=60°，求△F₁PF₂的面积S．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由已知条件设双曲线C₁：3x²-y²=λ，λ≠0，把点A（1，0）代入，能求出双曲线C₁的标准方程．
（2）设|PF₂|=m，|PF₁|=n，由已知条件推导出|m-n|=2，由此利用余弦定理能求出mn=12，从而能求出△F₁PF₂的面积S．

解答： 解：（1）∵双曲线C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的与双曲线C2：3x2-y2=1有公共渐近线，
∴设双曲线C₁：3x²-y²=λ，λ≠0，
∵双曲线C₁过点A（1，0），
∴3=λ，∴双曲线C₁的标准方程为x2-

y2

3

=1．
（2）设|PF₂|=m，|PF₁|=n，
则|m-n|=2，
在△F₁PF₂中，由余弦定理有16=m²+n²-2mncos60°=|m-n|²+2mn-mn，
∴mn=12，
∴S=

1

2

mnsin60°=

1

2

×12×

3

2

=3

3

．

点评：本题考查双曲线的标准方程的求法，考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．