Question

已知f（x）=ka^-x（k，a为常数，a＞0且a≠1）的图象经过点A（0，1），B（3，8）．
（1）求函数解析式；
（2）若函数g（x）=

f(x)+1

f(x)-1

，求g（x）的奇偶性；
（3）若g（x）≥x²-4x+m在x∈[-2，2]时恒成立，求m的值．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）由函数f（x）=k•a^-x（k，a为常数，a＞0且a≠1）的图象过点A（0，1），B（3，8），分别代入函数解析式，构造关于k，a的方程组，解方程组可得实数k，a的值，则函数解析式可求；
（2）由（1）求出函数g（x）=

f(x)+1

f(x)-1

的解析式，并根据指数的运算性质进行化简，进而根据函数奇偶性的定义可得答案；
（3）求出函数y=f（x）在[-2，2]上的最小值，求出函数t（x）=x²-4x+m在x∈[-2，2]上的最大值，由函数y=f（x）在[-2，2]上的最小值大于等于函数t（x）=x²-4x+m在x∈[-2，2]上的最大值求解m的值．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=k•a^-x（k，a为常数，a＞0且a≠1）的图象过点A（0，1），B（3，8）．
∴k=1，且k•a^-3=8，解得k=1，a=

1

2

，
∴f（x）=2^x；
（2）函数g（x）为奇函数，理由如下：
由（1）得f（x）=2^x，
∴函数g（x）=

f(x)+1

f(x)-1

=

2x+1

2x-1

，
则g（-x）=

2-x+1

2-x-1

=

1+2x

1-2x

=-

2x+1

2x-1

=-g（x）．
∴函数g（x）为奇函数；
（3）∵f（x）=2^x，当x∈[-2，2]时，2x∈[

1

4

，4]，
函数t（x）=x²-4x+m在x∈[-2，2]上的最大值为t（-2）=12+m，
∴f（x）≥x²-4x+m在x∈[-2，2]时恒成立等价于

1

4

≥12+m，即m≤-

47

4

．

点评：本题考查的知识点是指数函数的图象和性质，函数奇偶性的判断，是函数图象和性质的简单综合应用，考查了利用函数的单调性求函数的最值，是中档题．