题目内容
已知f（1+sinx）=2+sinx+cos2x，则函数f（x）的解析式为f（x）= ．
考点：三角函数中的恒等变换应用,函数解析式的求解及常用方法
专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质
分析：设1+sinx=t，可得sinx=t-1，由sinx的值域得到t的范围，再由同角三角函数间的基本关系sin2x+cos2x=1，用t表示出cos2x，将1+sinx及cos2x换为关于t的关系式，得到f（t）的解析式，再把t化为x即可得到f（x）的解析式，且由t的范围可得出此时x的范围．
解答：
解：设1+sinx=t，可得sinx=t-1，
∵-1≤sinx≤1，
∴0≤1+sinx≤2，即0≤t≤2，
又sin2x+cos2x=1，
∴cos2x=1-sin2x=1-（t-1）2，
∴f（1-sinx）=2+sinx+cos2x可化为f（t）=2+t-1+1-（t-1）2=-t2+3t+1，
则f（x）的解析式为：-x2+3x+1 （0≤x≤2）
故答案为：-x2+3x+1 （0≤x≤2）
∵-1≤sinx≤1，
∴0≤1+sinx≤2，即0≤t≤2，
又sin2x+cos2x=1，
∴cos2x=1-sin2x=1-（t-1）2，
∴f（1-sinx）=2+sinx+cos2x可化为f（t）=2+t-1+1-（t-1）2=-t2+3t+1，
则f（x）的解析式为：-x2+3x+1 （0≤x≤2）
故答案为：-x2+3x+1 （0≤x≤2）
点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，正弦函数的值域，以及函数解析式的求解及常用方法，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
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