Question

已知函数f（x）=2x-x²．
（1）求f（x）=-3的根；
（2）求证：f（x）在（-∞，1）上是增函数；
（3）当x∈[-1，2]时，求f（x）的值域．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）解方程求出即可，（2）可通过求导进行证明，（3）先求出函数的单调区间，从而求出函数的最值，进而求出函数的值域．

解答： （1）解：由题意得：2x-x²=-3
∴（x-3）（x+1）=0，
∴x=3或x=-1，
（2）证明：∵f′（x）=2-2x，
令f′（x）＞0，解得：x＜1，
∴f（x）在（-∞，1）上是增函数；
（3）解：∵f（x）在[-1，1）递增，在（1，2]递减，
∴f（x）_max=f（1）=1，
∵f（-1）=-3，f（2）=0，
∴f（x）的值域是：[-3，1]．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的值域问题，考查了二次函数的性质，是一道基础题．