Question

在等式cos2x=2cos²x-1（x∈R0的两边求导，得：（cos2x）′=（2cos²-1）′，由求导法则，得（-sin2x）•2=4cosx•（-sinx），化简得等式sin2x=2cosx•sinx：利用上述的想法求和：S_n=1+2x+3x²+…+nx^n-1（x≠0，n∈N₊）

Answer 1

考点：导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：由题意对S_n=1+2x+3x²+…+nx^n-1两边积分，然后两边求导数得答案．

解答： 解：由题意对S_n=1+2x+3x²+…+nx^n-1两边积分，得
∫S_ndx=∫（1+2x+3x²+…+nx^n-1）dx=x+x2+…+xn+c=

x-xn+1

1-x

+c，
两边求导得：Sn=

[1-(n+1)xn](1-x)+(x-xn+1)

(1-x)2

=

(1-xn)(1-x)-nxn(1-x)+x(1-xn)

(1-x)2

=

1-xn

(1-x)2

-

nxn

1-x

=

1+x+…+xn-1-nxn

1-x

．

点评：本题考查了导数的运算，考查了不定积分，关键是对题意得理解，是中档题．