Question

已知命题p：在x∈[1，2]时，不等式x²+ax-2＞0恒成立；命题q：函数f（x）=x³+ax在[1，+∞）上是增函数．若命题“p∨q”是真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：导数的综合应用,简易逻辑

分析：根据函数导数的符号和函数单调性的关系，以及根据单调性求函数的最值，即可求出命题p，q下的a的取值范围，由p∨q为真知道p为真或q为真，从而求出在这两种情况下a的并集即得a的取值范围．

解答： 解：命题p：由x²+ax-2＞0得a＞

2-x2

x

；
令f（x）=

2-x2

x

，则f′（x）=

-x2-2

x2

＜0，所以函数f（x）在[1，2]上单调递减；
∴

2-x2

x

的最大值为f（1）=1，∴a＞1；
命题q：∵函数f（x）=x³+ax在[1，+∞）上是增函数；
∴f′（x）=3x²+a≥0在[1，+∞）上恒成立，∴a≥-3x²，-3x²在[1，+∞）上的最大值为-3，∴a≥-3；
∵p∨q是真命题，∴p真，或q真；
∴a＞1，或a≥-3，∴a≥-3；
∴实数a的取值范围是[-3，+∞）．

点评：考查函数导数符号和函数单调性的关系，根据函数单调性求函数最值，p∨q的真假和p，q真假的关系．