Question

已知函数f（x）的定义域为R，对于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，若f（-1）=2．
（1）求f（0），f（3）的值；
（2）求证：f（x）是R上的减函数；
（3）求不等式f（1-2x）+f（x）+6＞0的解集．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用赋值法即可求f（0）与f（3）；
（2）根据函数单调性的定义即可判断f（x）的单调性；
（3）将不等式f（1-2x）+f（x）+6＞0进行等价转化，结合函数的奇偶性和单调性的性质即可得到结论．．

解答： 解：（1））∵f（x）的定义域为R，令x=y=0，则f（0+0）=f（0）+f（0）=2f（0），
∴f（0）=0．
令x=y=-1时，f（-2）=f（-1）+f（-1）=2f（-1）=2×2=4，
∴f（-3）=f（-1-2）=f（-1）+f（-2）=2+4=6；
∵f（0）=0，∴令y=-x，得f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，
即f（-x）=-f（x），则f（x）是奇函数，
∴f（3）=-f（-3）=-6
（2）设x₁＜x₂，则设x₂-x₁＞0，此时f（x₂-x₁）＜0，
即f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）＜0，
即f（x₂）-f（x₁）＜0，则f（x₂）＜f（x₁），
即f（x）的单调递减；
（3）不等式不等式f（1-2x）+f（x）+6＞0等价为f（1-3x）+f（x）＞f（3），
即f（1-2x+x）=f（1-x）＞f（3），
∵函数f（x）的单调递减，
∴1-x＜3，
解得x≥-2，
即不等式的解集为（-2，+∞），

点评：本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法结合函数单调性和奇偶性的定义是解决本题的关键．