Question

设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，b∈P，都有a+b、a-b，ab、

a

b

∈P （除数b≠0），则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域；数集F={a+b

2

|a，b∈Q}也是数域．有下列命题：
①数域必含有0，1两个数；
②整数集是数域；
③若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域；
④数域必为无限集；
⑤存在无穷多个数域．
其中正确的命题的序号是

 

．（把你认为正确的命题的序号填填上）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：新定义,集合

分析：本题考查的主要知识点是新定义概念的理解能力．我们可根据已知中对数域的定义：设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a-b、ab、

a

b

∈P（除数b≠0）则称P是一个数域，对四个命题逐一进行判断即可等到正确的结果．

解答： 解：①若a，b∈P，由互异性a≠b，不妨设a≠0，则
a+b，a-b∈P
（a+b）+（a-b）=2a∈P

2a

a

=2∈P

a

a

=1∈P
1-1=0∈P 
数域必含元素0，1得证，正确，
②1，2∈Z，

1

2

不属于Z，错误；
③令M=Q∪{π}，1，π∈M，1+π不属于M，错误；
④根据定义，如果a，b在P中，那么a+b，a+2b，a+3b，…，a+kb，…（k是整数）都在P中．由于整数有无穷多个，故数域必为无限集，正确．
⑤可以证明，任何一个形如{a+b

k

，a，b∈Q}（k是素数）的集合都是数域，而素数有无穷多个，并且k不同时集合也不同，故存在无穷多个数域，正确．
故答案为：①④⑤

点评：新定义题要对定义理解到位，可以从定义中相关的式子入手．