题目内容

若函数f（x）=ax3+2（a≠0）在[-6，6]上满足f（-6）＞1，f（6）＜1，试判断方程f（x）=1在[-6，6]内实数根的个数．
考点：函数的零点与方程根的关系
专题：计算题,函数的性质及应用
分析：由y=x3在R上单调递增可知，函数f（x）=ax3+2（a≠0）在[-6，6]上单调，结合f（-6）＞1，f（6）＜1，从而判断实数根的个数．
解答： 解：y=x3在R上单调递增可知，
函数f（x）=ax3+2（a≠0）在[-6，6]上单调，
又∵f（-6）＞1，f（6）＜1，
则在[-6，6]上，有且只有一个x，使f（x）=1；
即方程f（x）=1在[-6，6]内实数根有且只有一个．
点评：本题考查了方程的根的个数的判断，转化为函数的零点，结合函数的单调性判断，属于中档题．
练习册系列答案
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已知函数f（x）的定义域为R，对于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，若f（-1）=2．
（1）求f（0），f（3）的值；
（2）求证：f（x）是R上的减函数；
（3）求不等式f（1-2x）+f（x）+6＞0的解集．
在数列{an}中，已知a1=1，an+1-an=sin
(n+1)π
2
，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2014=
 
．
求值或化简：
a-4b2•
3ab2
（a＞0，b＞0）．
已知函数f（x）=loga（x+1）-loga（1-x），（a＞0且a≠1）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；
（3）当a＞0且a≠1时，求使f（x）＞0的x的解集．
已知3sinx+2cosy=4，则2sinx+cosy的范围为（　　）
A、[-3，3]
B、[
3
2
，
5
2
]
C、[
7
3
，
5
2
]
D、[
3
2
，
17
6
]
（x2-
1
x
）12的展开式的常数项是
 
．
已知函数f（x+1）=x2-2．
（1）求f（2）的值；
（2）求函数f（x）的解析式．
已知函数f（x）=ex-ax-1（e为自然对数的底数），a＞0．
（Ⅰ）若函数f（x）恰有一个零点，证明：aa=ea-1；
（Ⅱ）若f（x）≥0对任意x∈R恒成立，求实数a的取值集合．

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