Question

已知定义在R上的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调减函数，且f（2）=0．
（1）求f（-2）的值；
（2）若f（log₂x）＜f（2），求x的取值范围；
（3）设函数g（x）=

4-a•2x

的定义域为D，是否存在实数a，使得f[g（x）]＞0对任意的x∈D恒成立？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）利用定义在R上的偶函数f（x），f（2）=0，求f（-2）的值；
（2）定义在R上的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调减函数，f（log₂x）＜f（2），可得|log₂x|＞2，即可求x的取值范围；
（3）f[g（x）]＞0，即g（x）＜2对任意的x∈D恒成立，可得0≤4-a•2^x＜4，即可得出结论．

解答： 解：（1）∵定义在R上的偶函数f（x），f（2）=0，
∴f（-2）=0；
（2）∵定义在R上的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调减函数，f（log₂x）＜f（2），
∴|log₂x|＞2，
∴x＞4或0＜x＜

1

4

；
（3）f[g（x）]＞0，即g（x）＜2对任意的x∈D恒成立，
∴0≤4-a•2^x＜4，
∴0＜a•2^x≤4，
故不存在实数a，使得f[g（x）]＞0对任意的x∈D恒成立

点评：本题考查奇偶性与单调性的综合，考查学生的计算能力，比较综合．