Question

已知

a

=（cosx，2），

b

=（4cosx，

3

sin2x）且F（x）=

a

•

b

，求：
（1）F（x）的解析式；
（2）当x∈[-

π

3

，

π

3

]时，F（x）的最值；
（3）F（x）的单调区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）首先，结合F（x）=

a

•

b

，得到F（x）=4sin（2x+

π

6

）+2；
（2）结合x∈[-

π

3

，

π

3

]，得到2x+

π

6

∈[-

π

2

，

5π

6

]，然后，根据三角函数的图象与性质，求解其最大值和最小值；
（3）直接结合三角函数的单调性进行求解．

解答： 解：（1）∵F（x）=

a

•

b

，
∴F（x）=4cos²x+2

3

sin2x
=4×

1+cos2x

2

+2

3

sin2x
=2+2cos2x+2

3

sin2x
=4（

1

2

cos2x+

3

2

sin2x）+2
=4sin（2x+

π

6

）+2，
∴F（x）=4sin（2x+

π

6

）+2，
∴F（x）的解析式：F（x）=4sin（2x+

π

6

）+2，
（2）∵x∈[-

π

3

，

π

3

]，
∴2x+

π

6

∈[-

π

2

，

5π

6

]，
∴sin（2x+

π

6

）∈[-1，1]，
∴F（x）的最大值为6，最小值为-2，
（3）令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
∴-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，
增区间为[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，（k∈Z），
令

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，
∴

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ，
减区间为[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ]，（k∈Z）．

点评：本题重点考查了三角函数的图象与性质、辅助角公式等知识，属于中档题．