Question

已知F₁、F₂是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F₁PF₂=60°
（1）求椭圆离心率的范围；
（2）求证：S△PF1F2=

3

3

b²．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）首先，根据椭圆的定义，可以设|PF₁|=m，|PF₂|=n，然后，在△PF₁F₂中，根据余弦定理，得cos60°=

m2+n2-4c2

2mn

，得到mn≤

(m+n)2

4

=a2，从而求解其离心率的范围；
（2）结合S△PF1F2=

1

2

mn•sin60°=

3

4

mn，然后，借助于3mn=4a²-4c²=4b²，得到其面积为定值．

解答： 解：（1）根据椭圆的定义，可以设|PF₁|=m，|PF₂|=n，则
在△PF₁F₂中，根据余弦定理，得
cos60°=

m2+n2-4c2

2mn

=

(m+n)2-4c2-2mn

2mn

∴

1

2

=

4a2-4c2-2mn

2mn

，
∴3mn=4a²-4c²，
∵mn≤

(m+n)2

4

=a2，
∴a²≤4c²，
∴

c2

a2

≥

1

4

，
∴

1

2

≤e＜1，
（2）S△PF1F2=

1

2

mn•sin60°
=

3

4

mn，
根据（1）得3mn=4a²-4c²=4b²，
∴mn=

4

3

b²，
∴S△PF1F2=

3

4

×

4

3

b2
=

3

3

b2，
∴S△PF1F2=

3

3

b2．

点评：本题重点考查了椭圆的性质、椭圆的概念、直线与抛物线的位置关系等关系，属于中档题．