Question

经过点A（-2，-4），且与直线l：x+3y-26=0相切于点B（8，6）的圆的方程是

 

．

Answer 1

考点：圆的切线方程

专题：直线与圆

分析：法一：设所求圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，圆心C（

D

2

，

E

2

）．由此能求出圆的方程．
法二：设圆的圆心为C，则CB⊥l，从而可得CB所在直线的方程为y-6=3（x-8），AB的中点坐标为（3，1），AB的垂直平分线的方程为y-1=-（x-3），由此能求出圆的方程．

解答： 解法一：设所求圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
则圆心C（

D

2

，

E

2

）．∴k_CB=

6- E 2

8- D 2

，由k_CB•k_l=-1，得

6- E 2

8- D 2

•

1

3

=-1，①
又有（-2）²+（-4）²-2D-4E+F=0，②
8²+6²+8D+6E+F=0．③
由①②③联立可得D=-11，E=3，F=-30．
∴圆的方程为x²+y²-11x+3y-30=0．

即：(x-

11

2

)2+(y+

3

2

)2=

125

2

．
解法二：设圆的圆心为C，则CB⊥l，从而可得CB所在直线的方程为y-6=3（x-8），
即3x-y-18=0．①
由于A（-2，-4）、B（8，6），则AB的中点坐标为（3，1），又k_AB=

64

82

=1，
∴AB的垂直平分线的方程为y-1=-（x-3），
即x+y-4=0②
由①②联立后，可解得

x= 11 2 y= 3 2

，．
即圆心的坐标为（

11

2

，

3

2

_），
∴所求圆的半径r=

( 11 2 -8)2+( 3 2 -6)2

=

125 2

，．
∴所求圆的方程为(x-

11

2

)2+(y+

3

2

)2=

125

2

．
故答案为：(x-

11

2

)2+(y+

3

2

)2=

125

2

．

点评：本题考查圆的方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．