Question

已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）-

1

2

（1）若0＜α＜

π

2

，且sinα=

2

2

，求f（α）的值
（2）当x∈（-

5π

24

，

7π

24

）时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：（1）化简可得f（x）=

2

2

sin（2x+

π

4

），由题意易得α=

π

8

，代值计算可得；
（2）由（1）知f（x）=

2

2

sin（2x+

π

4

），由x∈（-

5π

24

，

7π

24

）结合三角函数值域计算可得．

解答： 解：（1）化简可得f（x）=cosx（sinx+cosx）-

1

2

=sinxcosx+cos²x-

1

2

=

1

2

（2sinxcosx+2cos²x-1）
=

1

2

（sin2x+cos2x）=

2

2

sin（2x+

π

4

），
∵0＜α＜

π

2

，且sinα=

2

2

，
∴sin（2α+

π

4

）=1，∴α=

π

8

，
∴f（α）=

2

2

sin（

π

4

+

π

4

）=

2

2

，
（2）由（1）知f（x）=

2

2

sin（2x+

π

4

），
∵x∈（-

5π

24

，

7π

24

），∴2x+

π

4

∈（-

π

6

，

5π

6

），
∴sin（2x+

π

4

）∈（-

1

2

，1]，
∴f（x）=

2

2

sin（2x+

π

4

）∈（-

2

4

，

2

2

]，
∴函数f（x）的值域为：（-

2

4

，

2

2

]，

点评：本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的值域，属基础题．