Question

设有一组圆C_m：（x-2m-1）²+（y-m-1）²=4m²（m为正整数），下列四个命题：
①存在一条定直线与所有的圆均相交
②存在一条定直线与所有的圆均不相交
③所有的圆均不经过原点
④存在一条定直线与所有的圆均相切
其中真命题的序号是

 

．（写出所有真命题的序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：直线与圆,简易逻辑

分析：根据圆的方程找出圆心坐标，发现满足条件的所有圆的圆心在一条直线上，所以这条直线与所有的圆都相交，①正确；
由所有圆相离且圆心在一定直线向上，说明②正确；
利用反证法，假设经过原点，将（0，0）代入圆的方程得不到正整数m说明③正确；
求出m=1、2时的两圆的外公切线，该公切线满足与所有的圆相切．

解答： 解：根据题意得：圆心（2m+1，m+1），
圆心在直线x-2y+1=0上，故存在直线x-2y+1=0与所有圆都相交，选项①正确；
考虑两圆的位置关系，
圆m：圆心（2m+1，m+1），半径为2m，
圆m+1：圆心（2m+3，m+2），半径为2（m+1），
两圆的圆心距d=

(2m+3-2m-1)2+(m+2-m-1)2

=

5

，两圆的半径之差R-r=2，
任意两圆相离，选项②正确；
将（0，0）带入圆的方程，则有（2m+1）²+（m+1）²=4m²，即m²+6m+2=0，此方程无正整数解．
选项③正确；
直线x=1满足与所有的圆相切，④正确．
故答案为：①②③④．

点评：本题是一道综合题，要求学生会将直线的参数方程化为普通方程，会利用反证法进行证明，会利用数形结合解决实际问题，是中档题．