题目内容
已知函数f（x）=-x3+3x2+9x-2
（Ⅰ）求f（x）的单调减区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间[-2，2]上的最值．
（Ⅰ）求f（x）的单调减区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间[-2，2]上的最值．
考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值
专题：导数的概念及应用
分析：（Ⅰ）由函数f（x）=-x3+3x2+9x-2，通过求导得出f′（x）＜0，解出即可；
（Ⅱ）f（x）在[-1，2]上单调递增，在[-2，-1]上单调递减，因此f（2）和f（-1）分别是f（x）在区间[-2，2]上的最大值和最小值，求出即可．
（Ⅱ）f（x）在[-1，2]上单调递增，在[-2，-1]上单调递减，因此f（2）和f（-1）分别是f（x）在区间[-2，2]上的最大值和最小值，求出即可．
解答：
解：（Ⅰ）∵函数f（x）=-x3+3x2+9x-2
∴f′（x）=-3x2+6x+9．
令f′（x）＜0，解得x＜-1或x＞3，
∴函数f（x）的单调递减区间为（-∞，-1），（3，+∞）．
（Ⅱ）∵f（-2）=8+12-18-2=0，f（2）=-8+12+18-2=20，
∴f（2）＞f（-2）．
∵x∈（-1，3）时，f′（x）＞0，
∴f（x）在[-1，2]上单调递增，
又由于f（x）在[-2，-1]上单调递减，
因此f（2）和f（-1）分别是f（x）在区间[-2，2]上的最大值和最小值．
于是有f（x）max=20，f（x）min=-7．
∴f′（x）=-3x2+6x+9．
令f′（x）＜0，解得x＜-1或x＞3，
∴函数f（x）的单调递减区间为（-∞，-1），（3，+∞）．
（Ⅱ）∵f（-2）=8+12-18-2=0，f（2）=-8+12+18-2=20，
∴f（2）＞f（-2）．
∵x∈（-1，3）时，f′（x）＞0，
∴f（x）在[-1，2]上单调递增，
又由于f（x）在[-2，-1]上单调递减，
因此f（2）和f（-1）分别是f（x）在区间[-2，2]上的最大值和最小值．
于是有f（x）max=20，f（x）min=-7．
点评：本题考察了利用导数求函数的单调区间，求函数的最值问题，本题是一道基础题．
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