题目内容

已知函数f（x）=2sin（x-
π
6
）sin（x+
π
3
），
π
6
≤x≤
5π
12
．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若f（x）=
2
2
3
，求f（
x
2
+
π
4
）的值．
考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的定义域和值域
专题：常规题型,三角函数的图像与性质
分析：（1）先利用两角和与差的正弦公式展开，然后再逆用二倍角公式及两角差的正弦公式，化成正弦型函数的标准形，根据标准形式求函数f（x）的值域；
（2）根据f（x）=
2
2
3
，代入f（x）解析式，sin（2x-
π
3
）=
2
2
3
，f（
x
2
+
π
4
）=sin（x+
π
6
），通过换元法建立两式之间的联系．
解答： 解：（1）依题意，f（x）=2(
3
2
sinx-
1
2
cosx)(
1
2
sinx+
3
2
cosx)
=sinxcosx-
3
2
（cos2x-sin2x） …（3分）
=
1
2
sin2x-
3
2
cos2x
=sin（2x-
π
3
），…（5分）
因为
π
6
≤x≤
5π
12
，所以0≤2x-
π
3
≤
π
2
，从而0≤sin(2x-
π
3
)≤1，
所以函数f（x）的值域为[0，1]；　…（7分）
（2）依题意，sin（2x-
π
3
）=
2
2
3
，
π
6
≤x≤
5π
12
，
令θ=2x-
π
3
，则x=
θ
2
+
π
6
，
从而sinθ=
2
2
3
，且0≤θ≤
π
2
，…（9分）
所以cosθ=
1-sin2θ
=
1
3
，
又cosθ=1-2sin2
θ
2
=2cos2
θ
2
-1，0≤
θ
2
≤
π
4
，
故sin
θ
2
=
3
3
，cos
θ
2
=
6
3
，…（11分）
从而f（
x
2
+
π
4
）=sin（x+
π
6
）=sin（
θ
2
+
π
3
）=
1
2
sin
θ
2
+
3
2
cos
θ
2

=
3
+3
2
6
．…（14分）
点评：本题考差了和差公式及倍角公式的应用，第（1）问解题的关键是化成正弦型函数的标准形式；第（2）问解题的关键是通过换元法建立条件和要求解的表达式之间的联系．
练习册系列答案
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2
e2
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（3）若f（x）有两个相异零点x1，x2，求证：x1•x2＞e2．
已知向量
m
=（sin
1
2
x，1），
n
=（4
3
cos
1
2
x，2cosx），设函数f（x）=
m
•
n
．
（1）求函数f（x）的解析式．
（2）求函数f（x），x∈[-π，π]的单调递增区间．
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已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an-n，n∈N*
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：
n-1
2
＜
a1
a2
+
a2
a3
+…+
an
an+1
＜
n
2
．
用长为18m的钢条围成一个长方体容器的框架，如果所制的容器的长与宽之比为2：1，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．

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