Question

已知sin（α+

π

3

）+sinα=-

4 3

5

，-

π

2

＜α＜0，求cosα的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值

分析：解法一：利用两角和的正弦公式，将已知中sin（α+

π

3

）+sinα=-

4 3

5

展开，结合辅助角公式，可得sin(a+

π

6

)=-

4

5

，结合-

π

2

＜α＜0，利用两角和的余弦公式，可得cosα的值．
解法二：利用两角和的正弦公式，将已知中sin（α+

π

3

）+sinα=-

4 3

5

展开，化简后可得sinα•

3

+cosα=-

8

5

，结合两弦平方和为1，解方程可得cosα的值．

解答： 解法一：∵sin(α+

π

3

)+sinα=-

4 3

5

，
即sinα•

1

2

+cosα•

3

2

+sina=-

4 3

5

即sinα•

3

2

+cosα•

3

2

=-

4 3

5

…（2分）
∴sinα•

3

2

+cosα•

3

2

=-

4 3

5

⇒sinα•

3

2

+cosα•

1

2

=-

4

5

⇒sin(a+

π

6

)=-

4

5

…（5分）
∵-

π

3

＜a+

π

6

＜

π

6

，…（6分）
∴cos(a+

π

6

)=

1-sin2(a+ π 6 )

=

3

5

…（7分）
∴cosa=cos[(a+

π

6

)-

π

6

]=cos(a+

π

6

)cos

π

6

+sin(a+

π

6

)sin

π

6

…（9分）
=

3

5

•

3

2

+(-

4

5

)•

1

2

=

3 3 -4

10

…（10分）
解法二：∵sin(α+

π

3

)+sinα=-

4 3

5

，
即sinα•

1

2

+cosα•

3

2

+sina=-

4 3

5

即sinα•

3

2

+cosα•

3

2

=-

4 3

5

⇒sinα•

3

+cosα=-

8

5

…（2分）

sinα• 3 +cosα=- 8 5 sin2a+cos2a=1

…（4分）
由sinα•

3

+cosα=-

8

5

得sina=

- 8 5 -cosa

3

代入得⇒(

- 8 5 -cosa

3

)2+cos2a=1…（6分）
即100cos²a+80cosa-11=0…（7分）
解得：cosa=

±3 3 -4

10

，…（9分）
∵cosa∈[-1，1]，
∴cosa=

3 3 -4

10

…（10分）

点评：本题考查的知识点是两角和与差的正弦公式，给值求值，是三角函数求值问题的综合应用，难度中档．