Question

在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=2，E，F，G，分别是线段PC，PD，DA的中点，现将△PDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD
（1）求证：平面PAB∥平面EFG．
（2）求证：AD⊥PC．
（3）求二面角G-EF-D的平面角的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面平行的判定,直线与平面垂直的性质

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）证明EF∥平面PAB，即证EF∥AB，同理FG∥平面PAB，根据平面与平面平行的判定定理可得；
（2）证明AD⊥PC，只需证明AD⊥面PDC即可；
（3）判断∠DFG为所求即可．

解答： （1）证明：∵E，F分别是PC，PD的中点，
∴ED∥CD，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB，
∴EG∥平面PAB
∵EF?平面PAB，AB⊆平面PAB
∴EF∥平面PAB；
同理FG∥平面PAB
又∵FG，EF?平面EFG，FG∩EF=F
∴平面PAB∥平面EFG；
（2）证明：由已知可得CD⊥AP，AD⊥DC，面PDC⊥面ABCD，DC为交线
∴PD⊥面ABCD
∴PD⊥AD，
又∵PD∩DC=D
∴AD⊥面PDC，
∴AD⊥PC；
（3）解：由（2）可知PD⊥EF，GF⊥EF
∴∠DFG为所求
又∵DF=DG=1，PD⊥DG
∴∠DFG=45°．

点评：本题主要考查面面平行的判定定理的应用，考查线面垂直的判定定理的应用，考查面面角，难度中等．