Question

已知函数f（x）=

2x-1

2x+1

（x∈R）．
（1）求函数f（x）的值域；    
（2）①判断并证明函数f（x）的奇偶性；②判断并证明函数f（x）的单调性；   
（3）解不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数的定义域及其求法,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据指数函数的性质即可求函数f（x）的值域；    
（2）①根据函数奇偶性的定义即可判断并证明函数f（x）的奇偶性；②根据函数单调性的性质即可判断并证明函数f（x）的单调性；   
（3）利用函数单调性和奇偶性的性质将不等式进行转化即可

解答： 解：（1）f（x）=

2x-1

2x+1

=

2x+1-2

2x+1

=1-

2

2x+1

（x∈R）．
∵2^x＞0，∴2^x+1＞1，
则0＜

1

2x+1

＜1，0＜

2

2x+1

＜2，
-2＜-

2

2x+1

＜0，
-1＜1-

2

2x+1

＜1，
即-1＜y＜1，
则函数f（x）的值域为（-1，1）；    
（2）①∵f（x）=

2x-1

2x+1

，∴f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-

2x-1

2x+1

=-f（x），
则函数f（x）为奇函数；
②f（x）=

2x-1

2x+1

=

2x+1-2

2x+1

=1-

2

2x+1

（x∈R）．
∵y=2^x是增函数，
∴y=2^x+1是增函数，y=

1

2x+1

是减函数，y=-

2

2x+1

是增函数，
y=1-

2

2x+1

是增函数，
故函数f（x）的单调递增；   
（3）∵函数f（x）是奇函数且函数单调递增，
∴不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0等价为f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1），
即1-m＜m²-1，
则m²+m-2＜0，
解得-2＜m＜1，
即不等式的解集为（-2，1）．

点评：本题主要考查函数性质是综合考查，要求熟练掌握的基本性质，利用定义法是解决本题的关键．