Question

9．已知椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点P（0，1），且离心率e=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（1）求椭圆方程；
（2）过原点的直线交椭圆于B，C两点，A（1，$\frac{1}{2}$），求△ABC面积最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意知，e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，b=1，a²-c²=1，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）设直线l的方程与椭圆C联立，C（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用弦长公式求出CB，A到CB的距离，然后求解三角形的面积，求出最大值即可．

解答 解：（1）由题意知，e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，b=1，a²-c²=1，…（4分）
解得a=2，
所以椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．…（6分）
（2）由题意知，直线l的斜率存在时，直线l：y=kx．
设直线l与椭圆交于C（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得可得 （4k²+1）x²-4=0，x₁+x₂=0，x₁x₂=$\frac{-4}{1+4{k}^{2}}$．
|CB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}×\frac{4}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，
A到CB 的距离为：d=$\frac{|k-\frac{1}{2}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴△ABC面积s=$\frac{1}{2}×$|CB|×d=$\sqrt{2}$×$\sqrt{\frac{4{k}^{2}-4k+1}{1+4{k}^{2}}}$=$\sqrt{2}$×$\sqrt{1-\frac{4k}{1+4{k}^{2}}}$=$\sqrt{2}$$\sqrt{1-\frac{4}{4k+\frac{1}{k}}}$．
∵k+$\frac{1}{k}$≥2或k+$\frac{1}{k}$≤-2，当且仅当k=$±\frac{1}{2}$时取等号．
所以当k=-$\frac{1}{2}$时，△ABC面积最大值2．

点评 题考查椭圆的方程和运用，考查直线方程和椭圆方程联立，消去未知数，运用韦达定理和弦长公式，考查点到直线的距离公式和基本不等式的运用，属于中档题．