Question

18．已知点E（-2，0），点P时圆F：（x-2）²+y²=36上任意一点，线段EP的垂直平分线交FP于点M，点M的轨迹记为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）过F的直线交曲线C于不同的A、B两点，交y轴于点N，已知$\overrightarrow{NA}$=m$\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{NB}$=n$\overrightarrow{BF}$，求m+n的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出|ME|+|MF|=6＞|EF|=4，判断点M的轨迹是以点E，F为焦点，长轴为6，焦距为4的椭圆，
然后求解方程．
（Ⅱ）求出F（2，0），若直线AB恰好过原点，计算m+n的值即可；
若直线AB不过原点，设直线AB：x=ty+2，t≠0，求出相关点的坐标与向量，表示出+n，联立直线与椭圆方程的方程组，利用韦达定理，转化求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由题意知，|ME|+|MF|=|MP|+|MF|=r=6＞|EF|=4，
故由椭圆定义知，点M的轨迹是以点E，F为焦点，长轴为6，焦距为4的椭圆，从而长半轴长为a=3，短半轴长为b=$\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴曲线C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$．  …（4分）
（Ⅱ）由题知F（2，0），
若直线AB恰好过原点，则A（-3，0），B（3，0），N（0，0），
∴$\overrightarrow{NA}$=（-3，0），$\overrightarrow{AF}$=（5，0），则m=$-\frac{3}{5}$，
$\overrightarrow{NB}$=（3，0），$\overrightarrow{BF}$=（-1，0），则n=-3，
∴m+n=$-\frac{18}{5}$．    …（2分）
若直线AB不过原点，设直线AB：x=ty+2，t≠0，
A（ty₁+2，y₁），B（ty₂+2，y₂），N（0，-$\frac{2}{t}$）．
则$\overrightarrow{NA}$=（ty₁+2，y₁+$\frac{2}{t}$），$\overrightarrow{AF}$=（-ty₁，-y₁），
$\overrightarrow{NB}$=（ty₂+2，y₂+$\frac{2}{t}$），$\overrightarrow{BF}$=（-ty₂，-y₂），
由$\overrightarrow{NA}=m\overrightarrow{AF}$，得y₁+$\frac{2}{t}$=m（-y₁），从而m=$-1-\frac{2}{t{y}_{1}}$；
由$\overrightarrow{NB}=n\overrightarrow{BF}$，得y₂+$\frac{2}{t}$=n（-y₂），从而n=$-1-\frac{2}{t{y}_{2}}$；
故m+n=$-1-\frac{2}{t{y}_{1}}$+（$-1-\frac{2}{t{y}_{2}}$）=$-2-\frac{2}{t}（\frac{1}{{y}_{1}}+\frac{1}{{y}_{2}}）$=-2-$\frac{2}{t}×\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{y}_{1}{y}_{2}}$．  …（8分）
联立方程组得：$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+2}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1}\end{array}\right.$，整理得（5t²+9）y²+20ty-25=0，
∴y₁+y₂=-$\frac{20t}{5{t}^{2}+9}$，y₁y₂=$-\frac{25}{5{t}^{2}+9}$，
∴m+n=-2-$\frac{2}{t}×\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{y}_{1}{y}_{2}}$═$-2-\frac{2}{t}×\frac{20t}{25}$=-2-$\frac{8}{5}$=$-\frac{18}{5}$．
综上所述，m+n=$-\frac{18}{5}$．…（12分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．