Question

17．已知偶函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数为f′（x），当x＜0时有2f（x）+xf′（x）＞x²，则不等式（x+2017）²f（x+2017）-4f（-2）＜0的解集为．（-2019，-2015）．

Answer 1

分析 通过观察2f（x）+xf′（x）＞x²，不等式的左边像一个函数的导数，又直接写不出来，对该不等式两边同乘以x，∵x＜0，∴会得到2xf（x）+x²f′（x）＜x³，而这时不等式的左边是（x²f（x））′，所以构造函数F（x）=x²f（x），则能判断该函数在（-∞，0）上是减函数，根据函数f（x）的奇偶性，得到F（x）是偶函数，发现不等式（x+2017）²f（x+2017）-2f（-2）＜0可以变成F（x+2017）＜F（-2）=F（2），从而|x+2017|＜2，解这个不等式便可．

解答 解：由2f（x）+xf′（x）＞x²，（x＜0）；
得：2xf（x）+x²f′（x）＜x³
即[x²f（x）]′＜x³＜0；
令F（x）=x²f（x）；
则当x＜0时，F'（x）＜0，即F（x）在（-∞，0）上是减函数；
∴F（x+2017）=（x+2017）²f（x+2017），F（-2）=4f（-2）；
即不等式等价为F（x+2017）-F（-2）＜0；
∵F（x）在（-∞，0）是减函数；
偶函数f（x）是定义在R上的可导函数，f（-x）=f（x），
∴F（-x）=F（x），F（x）在（0，+∞）递增，
∴由F（x+2017）＜F（-2）=F（2）得，|x+2017|＜2，
∴-2019＜x＜-2015，
∴原不等式的解集是（-2019，-2015），
故答案为：（-2019，-2015）．

点评 本题考查函数的单调性与导数的关系，两个函数乘积的导数的求法，而构造函数是解本题的关键．