Question

4．设函数$f（x）=3sin（ωx+\frac{π}{6}），ω＞0，x∈R$的最小正周期为$\frac{π}{2}$．
（1）求f（x）的解析式；
（2）利用“五点作图法”，画出f（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图；

ωx+$\frac{π}{6}$
x
f（x）

（3）已知$f（\frac{α}{4}+\frac{π}{12}）=\frac{9}{5}$，求cosα的值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用周期公式可求ω的值，进而得解；
（2）由已知，列表，描点，连线根据五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象即可．
（3）由已知利用诱导公式即可计算得解．

解答 解：（1）∵$T=\frac{2π}{ω}=\frac{π}{2}⇒ω=4$，
∴$f（x）=3sin（4x+\frac{π}{6}）$．
（2）列表如下：

4x+$\frac{π}{6}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	-$\frac{π}{24}$	$\frac{π}{12}$	$\frac{5π}{24}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{11π}{24}$
f（x）	0	3	0	-3	0

图象如下：

（3）由$f（\frac{α}{4}+\frac{π}{12}）=3sin[4（\frac{α}{4}+\frac{π}{12}）+\frac{π}{6}]$=$3sin（α+\frac{π}{2}）=\frac{9}{5}$$⇒cosα=\frac{3}{5}$．

点评 本题主要考查了五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象及诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．