Question

已知函数f（x）=

-x2-2x，x≤0 log 1 2 (x+1)，x＞0

，若?x∈R，f（x）≤ax+2（a∈R），则a的最大值为

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,数形结合,函数的性质及应用

分析：作出函数f（x）的图象，令y=ax+2，则图象为直线且经过（0，2），将直线绕着点（0，2）旋转时，当直线与y=-x²-2x，x≤0的图象相切时，直线在函数f（x）的图象上方，且此时斜率a最大，联立直线方程和抛物线方程，消去y，运用判别式为0，通过图象观察，舍去负值．

解答： 解：作出函数f（x）的图象，
令y=ax+2，则图象为直线且经过（0，2），
将直线绕着点（0，2）旋转时，当直线与y=-x²-2x，x≤0的图象相切时，直线在函数f（x）的图象上方，且此时斜率a最大，
联立直线y=ax+2和y=-x²-2x，消去y得，x²+（a+2）x+2=0，
由判别式为0，即有（a+2）²-8=0解得a=-2+2

2

或-2-2

2

由图象可知a=-2-2

2

不成立，舍去．
故答案为：2

2

-2．

点评：本题考查分段函数的图象和运用，考查数形结合的思想方法，以及直线与抛物线相切的条件，考查运算能力，属于中档题．