Question

9．等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₃=9，S₆=60．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若数列{b_n}满足b_n+1-b_n=a_n（n∈N₊）且b₁=3，求数列$\left\{{\frac{1}{b_n}}\right\}$的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，列方程，解方程即可得到首项和公差，即可得到所求通项；
（Ⅱ）运用数列的恒等式：当n≥2时，b_n=（b_n-b_n-1）+…+（b₂-b₁）+b₁，结合等差数列的求和公式，检验n=1也成立，再由$\frac{1}{b_n}=\frac{1}{n（n+2）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₃=9，S₆=60．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+2d=9\\ 6{a_1}+\frac{6×5}{2}d=60\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=5\\ d=2\end{array}\right.$．
∴a_n=5+（n-1）×2=2n+3．
（Ⅱ）∵b_n+1-b_n=a_n=2n+3，b₁=3，
当n≥2时，b_n=（b_n-b_n-1）+…+（b₂-b₁）+b₁
=[2（n-1）+3]+[2（n-2）+3]+…+[2×1+3]+3=$2×\frac{n（n-1）}{2}+3n={n^2}+2n$．
当n=1时，b₁=3适合上式，所以${b_n}={n^2}+2n$．
∴$\frac{1}{b_n}=\frac{1}{n（n+2）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．
∴${T_n}=\frac{1}{2}[{（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）}]$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{3}{4}-\frac{1}{2（n+1）}-\frac{1}{2（n+2）}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列恒等式和数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．