Question

4．己知数列{a_n}中，a₁=2，对任意正整数n，都有a_n+1-a_n=2ⁿ．
（I）求数列{a_n}的通项公式：
（II）设b_n=$\frac{{4{n^2}}}{{{{（{{{log}_{\sqrt{2}}}{a_n}}）}^2}-1}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）a₁=2，对任意正整数n，都有a_n+1-a_n=2ⁿ．可得n≥2时，a_n-a_n-1=2^n-1．利用累加求和方法与等比数列的求和公式即可得出．
（II）设b_n=$\frac{{4{n^2}}}{{{{（{{{log}_{\sqrt{2}}}{a_n}}）}^2}-1}}$=$\frac{4{n}^{2}}{4{n}^{2}-1}$=1+$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，利用裂项求和方法即可得出．

解答 解：（I）a₁=2，对任意正整数n，都有a_n+1-a_n=2ⁿ．∴n≥2时，a_n-a_n-1=2^n-1．
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=2^n-1+2^n-2+…+2+2=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$+1=2ⁿ．
n=1时上式也成立．
∴a_n=2ⁿ．
（II）设b_n=$\frac{{4{n^2}}}{{{{（{{{log}_{\sqrt{2}}}{a_n}}）}^2}-1}}$=$\frac{4{n}^{2}}{4{n}^{2}-1}$=1+$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=n+$\frac{1}{2}$$[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=n+$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$
=n+$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式求和公式、数列递推关系、裂项求和方法、累加求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．