Question

18．若$（{x+3}）{（{1-\frac{2}{{\sqrt{x}}}}）^n}$的展开式中常数项为43，则$\int_2^n{2xdx=}$21．

Answer 1

分析 利用（1-$\frac{2}{\sqrt{x}}$）ⁿ的展开式$\frac{1}{x}$的项与x+3的一次项相乘，展开式的常数项与x+3的常数项相乘，即可得到$（{x+3}）{（{1-\frac{2}{{\sqrt{x}}}}）^n}$的展开式中常数项为43，即可求出n的值，再根据定积分的计算法则计算即可

解答 解：（1-$\frac{2}{\sqrt{x}}$）ⁿ的展开式的通项为C_n^r（-2）^rx${\;}^{-\frac{r}{2}}$，由题意可得：
3C_n⁰（-2）⁰+C_n²（-2）²=43，
解得n=5，
则${∫}_{2}^{5}$2xdx=x²|${\;}_{2}^{5}$=25-4=21，
故答案为：21．

点评 本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了利用展开式的通项公式求指定项的系数，以及定积分的计算，属于中档题