Question

20．设a＞0，b＞2，且a+b=3，则$\frac{2}{a}+\frac{1}{b-2}$的最小值是（　　）

• A． 6
• B． $2\sqrt{2}$
• C． $4\sqrt{2}$
• D． $3+2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 $\frac{2}{a}+\frac{1}{b-2}$=（$\frac{2}{a}+\frac{1}{b-2}$）（a+b-2）=2+1+$\frac{2（b-2）}{a}$+$\frac{a}{b-2}$，根据基本不等式即可求出

解答 解：∵a＞0，b＞2，且a+b=3，
∴a+b-2=1，
∴$\frac{2}{a}+\frac{1}{b-2}$=（$\frac{2}{a}+\frac{1}{b-2}$）（a+b-2）=2+1+$\frac{2（b-2）}{a}$+$\frac{a}{b-2}$≥3+2$\sqrt{2}$，当且仅当a=$\sqrt{2}$（b-2）时取等号，即b=1+$\sqrt{2}$，a=2-$\sqrt{2}$时取等号，
则$\frac{2}{a}+\frac{1}{b-2}$的最小值是3+2$\sqrt{2}$，
故选：D

点评 本题考查了基本不等式的应用，掌握一正二定三相等，属于中档题