Question

已知

a

=（cosα，sinα），

b

-（cosβ，sinβ），|

a

-

b

|=

2 5

5

，其中0＜α＜

π

2

，-

π

2

＜β＜0，且sinβ=-

5

13

．
（1）求sinα的值；
（2）求f（x）=

1

2

cos2x-

130

33

sinαcosx（x∈R）的值域．

Answer 1

考点：三角函数的最值,函数的值域,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的求值

分析：（1）由|

a

-

b

|=

2 5

5

，求得cos（α-β）=

3

5

．再结合α、β的范围求得sin（α-β）=

4

5

．再根据sinα=sin[（α-β）+β]，利用两角和差的正弦公式计算求得结果．
（2）由题意可得f（x）=（osx-1）²-

3

2

，结合余弦函数的值域、二次函数的性质求得f（x）的值域．

解答： 解：（1）由题意可得|

a

-

b

|=

(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2

=

2-2cos(α-β)

=

2 5

5

，∴cos（α-β）=

3

5

．
再结合0＜α＜

π

2

，-

π

2

＜β＜0，可得α-β∈（0，π），∴α-β∈（0，

π

2

），∴sin（α-β）=

4

5

．
再根据sinβ=-

5

13

，可得cosβ=

12

13

．
∴sinα=sin[（α-β）+β]=sin（α-β）cosβ+cos（α-β）sinβ=

4

5

×

12

13

+

3

5

×(-

5

13

)=

33

65

．
（2）f（x）=

1

2

cos2x-

130

33

sinαcosx=

1

2

cos2x-

130

33

•

33

65

cosx=

1

2

cos2x-2cosx=（osx-1）²-

3

2

，
故当cosx=1时，f（x）取得最小值为-

3

2

，当cosx=-1时，f（x）取得最大值为

5

2

，故f（x）的值域为[-

3

2

，

5

2

]．

点评：本题主要考查求向量的模，同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式，二次函数的性质，属于中档题．