Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）左、右焦点分别为F₁、F₂，点P在双曲线右支上，且|PF₁|=3|PF₂|．
（1）求

b

a

的最大值，并写出此时双曲线的渐进线方程；
（2）当点P的坐标为（

4 10

5

，

3 10

5

）时，

PF1

•

PF2

=0，求双曲线方程．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,双曲线的标准方程

专题：计算题,平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据双曲线的定义结合|PF₁|=3|PF₂|，解得|PF₁|=3a，|PF₂|=a．由圆锥曲线统一定义，求得x₀=

2a2

c

，根据P在双曲线的右支得

2a2

c

≥a，再由a，b，c的关系可得a，b的关系，不难算出因此的渐近线方程；
（2）将

PF1

•

PF2

=0转化为关于x₀、y₀和c的表达式，化简整理得c²=x₀²+y₀²=10，结合|PF₂|=a和x₀=

2a2

c

，联解可得a²=4，从而b²=c²-a²=6，即可得到双曲线方程，由此易得P的坐标．

解答： 解：（1）根据双曲线的定义，得|PF₁|-|PF₂|=2a，
∵|PF₁|=3|PF₂|，∴|PF₁|=3a，|PF₂|=a，
设F₁（-c，0），F₂（c，0），P（x₀，y₀），
双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的左准线方程为：x=-

a2

c

，
由圆锥曲线统一定义，得

|PF1|

x0+ a2 c

=e，∴3a=ex₀+a，得x₀=

2a2

c

，
∵P在双曲线的右支，∴x₀≥a即

2a2

c

≥a，解得c≤2a，即c²≤4a²，
即a²+b²≤4a²，即b≤

3

a，

b

a

≤

3

．
∴

b

a

的最大值为

3

，此时双曲线的渐近线方程为y=±

3

x；
（2）

PF1

=（-c-x₀，-y₀），

PF2

=（c-x₀，-y₀），
∵

PF1

•

PF2

=0，
∴-（c²-x₀²）+y₀²=0，可得c²=x₀²+y₀²=10…（*）
∵|PF₂|=

(c-x0)2+y02

=a，
∴（c-x₀）²+y₀²=a²，
代入（*）式和x₀=

2a2

c

，可得a²=20-2cx₀=20-4a²，解之得a²=4，
∴b²=c²-a²=6，得双曲线方程为

x2

4

-

y2

6

=1，
此时x₀=

2a2

c

=

4 10

5

，y₀=±

3 10

5

，
所以当点P的坐标为（

4 10

5

，

3 10

5

）时，

PF1

•

PF2

=0，此时的双曲线方程为

x2

4

-

y2

6

=1．

点评：本题给出双曲线右支上点P满足|PF₁|=3|PF₂|，求

b

a

的最大值，并求PF₁⊥PF₂时的双曲线方程，着重考查了双曲线的标准方程、简单几何性质和向量数量积的坐标运算等知识，属于中档题．