Question

已知

m

=（sinx，-1），

n

=（

3

cosx，-

1

2

），函数f（x）=

m

2+

m

•

n

-2
（1）求函数的单调增区间
（2）将函数f（x）的图象的横坐标扩大到原来的2倍，在向左平移

π

3

的单位，得到函数g（x），若△ABC的三边a，b，c所对的角为A，B，C，且三边a，b，c成等差数列，且g（B）=

3

2

，试求（cosA-cosC）²的值．

Answer 1

考点：平面向量的综合题

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）利用数量积运算可得函数f（x）=

m

2+

m

•

n

-2=sin(2x-

π

6

)，由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，解得x即可得出单调区间；
（2）将函数f（x）的图象的横坐标扩大到原来的2倍，在向左平移

π

3

的单位，得到函数g（x）=sin(x+

π

3

-

π

6

)=sin(x+

π

6

)，由三边a，b，c成等差数列，可得2b=a+c，可知B为锐角，利用正弦定理可得sinA+sinC=2sinB，进而得到sin²A+sin²C+2sinAsinC=1，由g（B）=

3

2

，可得sin(B+

π

6

)=

3

2

，解得B=

π

6

．（cosA-cosC）²=cos²A+cos²C-2cosAcosC=x．即可得出．

解答： 解：（1）函数f（x）=

m

2+

m

•

n

-2=（sin²x+1）+

3

sinxcosx+

1

2

-2=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin(2x-

π

6

)，
由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，解得-

π

6

+kπ≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z，
∴函数f（x）的单调增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）．
（2）将函数f（x）的图象的横坐标扩大到原来的2倍，在向左平移

π

3

的单位，得到函数g（x）=sin(x+

π

3

-

π

6

)=sin(x+

π

6

)，
∵三边a，b，c成等差数列，
∴2b=a+c，可知B为锐角．
由g（B）=

3

2

，可得sin(B+

π

6

)=

3

2

，
∴B+

π

6

=

π

3

，解得B=

π

6

．
（cosA-cosC）²=cos²A+cos²C-2cosAcosC=x．
∵sinA+sinC=2sinB，∴sin²A+sin²C+2sinAsinC=1，
∴2-2cos（A+C）=x+1，
∴2+2cosB=x+1，
∴x=

3

+1．
即（cosA-cosC）²=

3

+1．

点评：本题考查了数量积运算、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性及其变换、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．