Question

已知抛物线C：x²=

1

a

y（a≠0）的准线方程为y=-1．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设F是抛物线C的焦点，直线l：y=kx+b（k≠0）与抛物线C交于A，B两点，记直线AF，BF的斜率之和为m．若对任意的实数k（k≠0），直线l恒过定点，求实数m的值，并求出该定点的坐标．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用抛物线y=ax²（a≠0）的准线方程，即可求得抛物线C的方程；
（Ⅱ）直线方程与抛物线方程联立得x²-4kx-4b=0．利用韦达定理及直线AF，BF的斜率之和为m，可得直线方程，进而令xk²-（mx+y+1）k+my=0对任意的k（k≠0）恒成立，即可求得直线l过定点．

解答： 解：（Ⅰ）抛物线C：x²=

1

a

y（a≠0）的准线方程为：y=-

1

4a

．  
∵抛物线C：x²=

1

a

y（a≠0）的准线方程为y=-1                      …（3分）
∴-

1

4a

=-1，解得a=

1

4

．
∴抛物线C的方程是x²=4y．                                    …（6分）
（Ⅱ）F（0，1），设A（x₁，

x12

4

），B（x₂，

x22

4

），
由直线l：y=kx+b（k≠0）与抛物线C得x²-4kx-4b=0．
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b，△=16k²+16b＞0．                  …（8分）
∴m=

x12 4 -1

x1

+

x22 4 -1

x2

=

k(b+1)

b

．                               …（10分）
∴b=

k

m-k

．∴直线l：y=kx+

k

m-k

．
令xk²-（mx+y+1）k+my=0对任意的k（k≠0）恒成立．             …（12分）
则

x=0 mx+y+1=0 my=0

，解得x=0，y=-1，m=0．
所以，m=0，直线l过定点（0，-1）．                           …（15分）

点评：本题考查抛物线的标准方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查直线恒过定点，解题的关键是求出直线方程，利用方程对任意的k（k≠0）恒成立，建立方程组．