Question

已知向量

a

=（sin2x，-

3

2

），

b

=（

1

2

，cos2x）设f（x）=2

a

•

b

．
（1）求f（x）的最大值，并求最大值所对应的自变量；
（2）令g（x）=

2

π

x2-x，对任意x1∈[-

π

2

，

π

2

]，存在x2∈[-

π

2

，

π

2

]时，使λ•g（x₁）=f（x₂）成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：分类讨论,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）利用平面向量的数量积以及三角函数的恒等变换，求出f（x）的最大值以及对应的自变量x的取值；
（2）求出g（x）在x1∈[-

π

2

，

π

2

]上的值域，f（x₂）在x2∈[-

π

2

，

π

2

]上的值域；
讨论λ的取值，求出使λ•g（x₁）=f（x₂）时λ的取值范围．

解答： 解：（1）∵

a

=（sin2x，-

3

2

），

b

=（

1

2

，cos2x），
∴f（x）=2

a

•

b

=2（

1

2

sin2x-

3

2

cos2x）
=2sin（2x-

π

3

）；
当2x-

π

3

=2kπ+

π

2

，
即x=kπ+

5π

12

（k∈Z）时，f（x）取得最大值2；
（2）∵g（x）=

2

π

x²-x
=

2

π

(x-

π

4

)2-

π

8

，
∴当x=

π

4

时，g（x）取得最小值g（x）_min=-

π

8

，
当x=-

π

2

时，g（x）取得最大值g（x）_max=π；
∴g（x）的值域是[-

π

8

，π]；
又∵-

4π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，
∴f（x₂）的值域是[-2，2]；
当λ≥0时，λ•g（x₁）∈[-

π

8

λ，πλ]，
由已知[-

π

8

λ，πλ]⊆[-2，2]，
∴

- π 8 λ≥-2 πλ≤2

，
解得0≤λ≤

2

π

；
当λ＜0时，λ•g（x₁）∈[πλ，-

π

8

λ]，
同理可得-

2

π

≤λ＜0；
综上，λ的取值范围是[-

2

π

，

2

π

]．

点评：本题考查了平面向量的应用问题，也考查了三角函数的恒等变换以及函数的图象与性质的应用问题，是综合题．