Question

已知一元二次不等式x²+ax+2a-3＞0的解集为R
（1）若实数a的取值范围为集合A，求A．
（2）对任意的x∈A，都使得不等式x²+（b-1）x+9≥0恒成立．求b的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用一元二次不等式与二次函数的关系，得到x²+ax+2a-3＞0的解集为R的等价条件为△＜0；
（2）对任意的x∈A，都使得不等式x²+（b-1）x+9≥0恒成立，只要b≥1-(x+

9

x

)，x∈（2，6）很成立，只要求出f(x)=1-(x+

9

x

)，x∈（2，6）的最大值．

解答： 解：（1）因为x²+ax+2a-3＞0的解集为R，所以△＜0，即a²-8a+12＜0，解得2＜a＜6，所以A={a|2＜a＜6}．
（2）对任意的x∈A，都使得不等式x²+（b-1）x+9≥0恒成立，只要b≥1-(x+

9

x

)，x∈（2，6）很成立．
令f(x)=1-(x+

9

x

)，x∈（2，6）．∴f(x)≤1-2

x• 9 x

=-5．当且仅当x=3时，3∈（2，6），取等号．
所以b≥-5．b的取值范围为：[-5，+∞）．

点评：本题考查了一元二次不等式恒成立问题的解答方法；注意结合与二次函数的关系解答．