Question

（1）已知关于x的不等式|ax-1|+|ax-a|≥2（a＞0），此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．
（2）已知实数m，n，l，x，y，z满足m²+n²+l²=25，x²+y²+z²=36，mx+ny+lz=30，求表达式

m+n+l

x+y+z

的值．

Answer 1

考点：不等式的基本性质

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）由于关于x的不等式|ax-1|+|ax-a|≥2（a＞0），此不等式的解集为R，可得|ax-1|+|ax-a|≥
|ax-1+a-ax|=|a-1|≥2（a＞0），解得a即可．
（2）利用“柯西不等式”即可得出．

解答： 解：（1）∵关于x的不等式|ax-1|+|ax-a|≥2（a＞0），此不等式的解集为R，
∴|ax-1|+|ax-a|≥|ax-1+a-ax|=|a-1|≥2（a＞0），解得a≥3，∴实数a的取值范围是[3，+∞）．
（2）∵m²+n²+l²=25，x²+y²+z²=36，mx+ny+lz=30，25×36=30²，
（m²+n²+l²）（x²+y²+z²）≥（mx+ny+lz）²，
当且仅当

m

x

=

n

y

=

l

z

=

5

6

时上式成立．
∴

m+n+l

x+y+z

=

5

6

．

点评：本题考查了含绝对值的三角不等式、柯西不等式的性质，考查了计算能力，属于中档题题．