题目内容
已知|
|=2，|
|=1，（2
-3
）•（2
+
）=9．
（Ⅰ）求
与
的夹角θ；
（Ⅱ）求向量
在（
+
）上的投影．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
（Ⅰ）求
| a |
| b |
（Ⅱ）求向量
| a |
| a |
| b |
考点：平面向量数量积的运算,数量积表示两个向量的夹角
专题：平面向量及应用
分析：（Ⅰ）由题意求得
•
=2cosθ，再根据（2
-3
）•（2
+
）=9，求得cosθ=
，可得θ 的值．
（Ⅱ）由题意可得，
•
=1，设向量
与（
+
）的夹角为α，则cosα=
=
的值，从而求得向量
在（
+
）上的投影为|
|cosα 的值．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
（Ⅱ）由题意可得，
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
| ||||||
|
|
| ||||||||
|
|
| a |
| a |
| b |
| a |
解答：
解：（Ⅰ）∵
与
的夹角θ，∴
•
=|
|•|
|cosθ=2cosθ．
再根据（2
-3
）•（2
+
）=4
2-4
•
-3
2=16-8cosθ-3=9，求得cosθ=
，
∴θ=
．
（Ⅱ）由题意可得，
•
=2×1×cos
=1，
设向量
与（
+
）的夹角为α，则cosα=
=
=
=
，
故向量
在（
+
）上的投影为|
|cosα=
．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
再根据（2
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
| b |
| 1 |
| 2 |
∴θ=
| π |
| 3 |
（Ⅱ）由题意可得，
| a |
| b |
| π |
| 3 |
设向量
| a |
| a |
| b |
| ||||||
|
|
| ||||||||
|
|
| 4+1 | ||
2
|
5
| ||
| 14 |
故向量
| a |
| a |
| b |
| a |
5
| ||
| 7 |
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，求向量的模的方法，一个向量在另一个向量上的投影的定义，属于基础题．
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